科学笔记：柯西色散公式的推导过程

柯西色散公式的推导过程基于经典色散理论，结合洛伦兹的经典电子论和波动光学理论。以下是推导过程的概述：

洛伦兹模型：

洛伦兹模型将介质内部看作是一对对“电偶极子”，由一个带负电的电子和一个正电的原子实构成。

在外部电场的影响下，电子作受迫阻尼振动，满足以下振动方程： [ m\frac{d^2\widetilde{r}}{dt^2} + g\frac{d\widetilde{r}}{dt} + k\widetilde{r} = -qE_0e^{i\omegat} ] 其中，(\widetilde{r}) 是电子相对于原子实的位移（复函数），(m) 为电子质量，(g) 为阻尼系数，(k) 为弹性系数，(-q) 为电子电荷，(E_0e^{i\omegat}) 为外来光波的电场。

引入本征频率：

定义本征频率 (\omega_0 = \sqrt{k/m})，并将方程改写为： [ \frac{d^2\widetilde{r}}{dt^2} + \gamma\frac{d\widetilde{r}}{dt} + \omega_0^2\widetilde{r} = -\frac{q}{m}E_0e^{i\omegat} ] 其中，(\gamma = g/m)。

求解振动方程：

求解上述振动方程，得到电子的位移 (\widetilde{r})。

总极化强度：

设介质的原子数密度为 (N)，每个原子的电子数为 (Z)，则总极化强度为： [ \widetilde{P} = NZq\widetilde{r} ]

极化强度与电场的关系：

根据电磁理论，极化强度和外来电场的关系式为： [ \widetilde{P} = \varepsilon_0\chi\widetilde{E} = \varepsilon_0\chiE_0e^{i\omegat} ] 将前面得到的 (\widetilde{P}) 和此式对比，可以得到色散关系。

介电常数与折射率的关系：

根据电磁波动方程导出的介电常数与折射率的关系（(n = \sqrt{\varepsilon})），有： [ \widetilde{\varepsilon} = \widetilde{n}^2 = n^2(1 - \kappa^2) - 2in^2\kappa ]

色散关系：

通过上述步骤，最终得到色散关系： [ n^2 = 1 + \omega_p^2\frac{\lambda_0^2\lambda^2(\lambda^2 - \lambda_0^2)}{(2\pi c)^2(\lambda^2 - \lambda_0^2)^2 + \gamma^2\lambda^2\lambda_0^4} ]

其中，(\omega_p) 是等离子体频率，(\lambda_0) 和 (\lambda) 分别是本征频率和光波的波长。

简化和验证：

在特定条件下（如 (\lambda \ll \lambda_0) 或 (\lambda \gg \lambda_0)），对色散关系进行简化，得到符合实验观测的结果。

通过实验测量和数据分析，验证柯西色散公式的正确性和适用范围。

通过上述步骤，柯西色散公式得以推导和验证。这个公式描述了介质的折射率与入射光波长之间的关系，对于理解和预测光在不同介质中的传播行为具有重要意义。

仅作个人学习参考。