蔡桓公和齐桓公是两个人。
蔡桓公，又称齐桓公，实际上是战国时期田氏代齐后的第三位齐国国君，谥号为“齐桓公”，史称“田齐桓公”或“齐桓公午”，本名田午。他在位期间创建了稷下学宫，招揽天下贤士，聚徒讲学，著书立说，一时人才荟萃。相传名医扁鹊曾为他看病，因他讳疾忌医，最终病发去世。
而齐桓公，名小白，是春秋时期齐国的第十六位国君，以“尊王攘夷”为旗号，九合诸侯，成为春秋五霸之首。他在位期间重用管仲，推行一系列改革措施，使齐国日益强盛。
尽管两者都称为“桓公”，但他们是不同历史时期的不同人物。蔡桓公是战国时期的齐国国君，而齐桓公则是春秋时期的齐国国君。